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倍增Tarjan求LCA

LCA,最近公共祖先,这是树上最常用的算法之一,因为它可以求距离,也可以求路径等等

LCA有两种写法,一种是倍增思想,另一种是Tarjan求法,我们可以通过一道题来看一看,

例题

欢乐岛上有个非常好玩的游戏,叫做“紧急集合”。在岛上分散有N个等待点,有N-1条道路连接着它们,每一条道路都连接某两个等待点,且通过这些道路可以走遍所有的等待点,通过道路从一个点到另一个点要花费一个游戏币。

参加游戏的人三人一组,开始的时候,所有人员均任意分散在各个等待点上(每个点同时允许多个人等待),每个人均带有足够多的游戏币(用于支付使用道路的花费)、地图(标明等待点之间道路连接的情况)以及对话机(用于和同组的成员联系)。当集合号吹响后,每组成员之间迅速联系,了解到自己组所有成员所在的等待点后,迅速在N个等待点中确定一个集结点,组内所有成员将在该集合点集合,集合所用花费最少的组将是游戏的赢家。

小可可和他的朋友邀请你一起参加这个游戏,由你来选择集合点,聪明的你能够完成这个任务,帮助小可可赢得游戏吗?

我们先看一下题目,是三个点到一个点的距离之和最小,图大家可以手模一下,我们设题中给的三个点为x,y,z,每两个点的lca是a,b,c. 距离前缀和数组设为dep[i];那么开始推导:肯定有lca是相同的,这个可以手动证明一下,这里就不再证明了,所以暂设 a==c=true ,那么,

,然后大家应该就能懂了QAQ,之后还有通用公式 $dep[x]+dep[y]+dep[z]-dep[a]-dep[b]-dep[c]$ ,只要再找到$a,b,c$中谁与其它两个不同即可;

然后附上Code

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,head[500007],cent,dep[500007],fa[500007][30],len[500007];
struct node{
int next,to,w;
}edge[1000007];

void add(int u,int v,int w){
edge[++cent]=(node){head[u],v,w};head[u]=cent;
}

void dfs(int x,int dy){
dep[x]=dy;//求深度
for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){
int y=edge[i].to;
if(y==fa[x][0]) continue;
fa[y][0]=x;
len[y]=len[x]+edge[i].w;//其实与深度一样
dfs(y,dy+1);
}
return ;
}

void Init(){
fa[1][0]=-1;
dfs(1,0);
for(int i=1;1<<i<n;i++){//倍增
for(int j=1;j<=n;j++){//更新每一个点
if(fa[j][i-1]<0) fa[j][i]=-1;
else fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
}
}
return ;
}

int lca(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(int i=0,d=dep[x]-dep[y];d;d>>=1,i++){
if(d&1) x=fa[x][i];//转移至同一高度
}
if(x==y) return x;
for(int i=log(n)+1;i>=0;i--){//寻找LCA
if(fa[x][i]!=fa[y][i]){//自己画图体会一下
x=fa[x][i];
y=fa[y][i];
}
}
return fa[x][0];
}

void work(int a,int b,int c){
int x=lca(a,b),y=lca(b,c),z=lca(a,c),exit;
if(x==y) exit=z;
else if(y==z) exit=x;
else if(x==z) exit=y;//寻找不同的LCA
printf("%d %d\n",exit,dep[a]+dep[b]+dep[c]-dep[x]-dep[y]-dep[z]);//通用公式计算
}

int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,a,b;i<=n-1;i++){
scanf("%d%d",&a,&b);
add(a,b,1),add(b,a,1);//存图
}
Init();//初始化
for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
work(a,b,c);
}
return 0;
}

至于为什么Tarjan没过而倍增过了,是因为我们统计倍增$O(nlongn+mlongn)$,比较稳定而作为$O(n+m)$算法的Tarjan却栽了是因为并查集维护时,时间复杂度最坏达到了近$O(n^2+m)$,但是$O(1)$查询的Tarjan在一些数据确实比倍增算法快,但是,在一些非常诡异的数据中,还是用倍增比较妥当,来看代码

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,head[500007],cent,cnt,h[500007],dep[500007],vis[500007];
int fa[500007],f[2000007],see[500007][3],num[500007];
struct node{
int next,to,w;
}edge[1000007];
struct node1{
int next,to,id;
}e[3000007];

template<typename type_of_scan>
inline void scan(type_of_scan &x){
type_of_scan f=1;x=0;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}

inline void add(int u,int v,int w){
edge[++cent]=(node){head[u],v,w};head[u]=cent;
}

inline void add1(int u,int v,int name){
e[++cnt]=(node1){h[u],v,name};h[u]=cnt;
}

inline int get(int x){
if(fa[x]==x) return x;
return fa[x]=get(fa[x]);
}

inline void Tarjan(int u){
vis[u]=1;
for(register int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].to;
if(vis[v]) continue;
dep[v]=dep[u]+edge[i].w;//与倍增一样
Tarjan(v);
fa[v]=u;
}
for(register int i=h[u];i;i=e[i].next){
int v=e[i].to;
if(vis[v]&&!f[e[i].id]){
int zz=get(v),x=e[i].id;
f[x]=zz;//储存答案
}
}//与倍增不同的是,它每次都去处理有关点数据,运用访问时间的差别,以来实现Tarjan
}

inline void work(){
for(register int i=1;i<=3*m;i+=3){
int x=see[i][0],y=see[i][1],z=see[i][2];
int a=f[i],b=f[i+1],c=f[i+2];
if(a==b){
printf("%d %d\n",c,dep[x]+dep[y]+dep[z]-dep[a]-dep[b]-dep[c]);
}else if(b==c) {
printf("%d %d\n",a,dep[x]+dep[y]+dep[z]-dep[a]-dep[b]-dep[c]);
}else if(a==c) {
printf("%d %d\n",b,dep[x]+dep[y]+dep[z]-dep[a]-dep[b]-dep[c]);
}

}
}

int main(){
scan(n),scan(m);
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1,a,b;i<=n-1;i++){
scan(a),scan(b);
add(a,b,1),add(b,a,1);
}
for(register int i=1;i<=3*m;i+=3){
int a,b,c;
scan(a),scan(b),scan(c);//Tarjan储存询问,在工作时一起解决
see[i][0]=a,see[i][1]=b,see[i][2]=c;
add1(a,b,i),add1(b,a,i),add1(a,c,i+1);
add1(c,a,i+1),add1(c,b,i+2),add1(b,c,i+2);
}
Tarjan(1);
work();
return 0;
}
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